高中数学选修４－１知识点总结

平行线等分线段定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那

么在其他直线上截得的线段也相等。推理１：经过三角形一边的中点与另一边

平行的直线必平分第三边。推理２：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直

线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比

例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对

应线段成比例。

相似三角形的判定及性质

相似三角形的判定：

定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三

角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。由于从定义出发判断两个三角形

是否相似，需考虑６个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分

别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似

的简单方法：（１）两角对应相等，两三角形相似；（２）两边对应成比例且夹角

相等，两三角形相似；（３）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相

交，所构成的三角形与三角形相似。判定定理１：对于任意两个三角形，如果

一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相

似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理２：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角

形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边＆＃１０；

对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理３：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三

角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比

例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段

成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。定理：（１）如果两个直角三角

形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（２）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和

直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：

（１）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似

比；（２）相似三角形周长的比等于相似比；

（３）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相

似比的平方。

直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；

两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

圆周定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心

角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论１：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所

对的弧相等。推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所

对的弦是直径。

圆内接四边形的性质与判定定理

定理１：圆的内接四边形的对角互补。

定理２：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的

四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个

四边形的四个顶点共圆。

圆的切线的性质及判定定理

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论１：经过圆心且

垂直于切线的直线必经过切点。推论２：经过切点且垂直于切线的直线必经过

圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切

线。

弦切角的性质

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

与圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的

两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交

点的两条线段长的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们

的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

高中数学选修４－４知识点总结

一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：１．坐标系：

①理解坐标系的作用．②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的

变化情况．　　

③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐

标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．　　

④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点

的圆）的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解

用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．２．参数方程：①了解参数方

程，了解参数的意义

②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．二、知识归纳总

结：

某某，（０），１．伸缩变换：设点Ｐ（某，ｙ）是平面直角坐标系中的任意一点，

在变换：的作用下，点Ｐ（某，ｙ）对应

　　　　ｙｙ，（０）．到点Ｐ（某，ｙ），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩

变换。

　　　　２．极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条

射线Ｏ某叫做极轴；再选定一个长度单位、一

个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了

一个极坐标系。

　　　　３．点Ｍ的极坐标：设Ｍ是平面内一点，极点Ｏ与点Ｍ的距离｜ＯＭ｜叫做点Ｍ

的极径，记为；以极轴Ｏ某为始边，射线ＯＭ为终边的某ＯＭ叫做点Ｍ的极角，

记为。有序数对（，）叫做点Ｍ的极坐标，记为Ｍ（，）．极坐标（，）与（，２ｋ）（ｋＺ）表示

同一个点。极点Ｏ的坐标为（０，）（Ｒ）．　　

　　　　４．若０，则０，规定点（，）与点（，）关于极点对称，即（，）与（，）表示同一点。

如果规定０，０２，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；

同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的。５．极坐标与直角坐标的互化：

　　　　２某２ｙ，２某ｃｏｓ，ｔａｎｙ某ｙｓｉｎ，（某０）　　

　　　　６。圆的极坐标方程：

在极坐标系中，以极点为圆心，ｒ为半径的圆的极坐标方程是ｒ；

在极坐标系中，以Ｃ（ａ，０）（ａ０）为圆心，ａ为半径的圆的极坐标方程是

２ａｃｏｓ；在极坐标系中，以Ｃ（ａ，２）（ａ０）为圆心，ａ为半径的圆的极坐标方程是

２ａｓｉｎ；

　　　　７．在极坐标系中，（０）表示以极点为起点的一条射线；（Ｒ）表示过极点的一

条直线．在极坐标系中，过点Ａ（ａ，０）（ａ０），且垂直于极轴的直线ｌ的极坐标方

程是ｃｏｓａ．　　

　　　　８．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标

某，ｙ都是某个变数ｔ的函数某ｆ（ｔ），ｙｇ（ｔ），并且对于＆

ｔ的每一个允许值，由这个方程所确定的点Ｍ（某，ｙ）都在这条曲线上，那么

这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系

变数某，ｙ的变数ｔ叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

９．圆（某ａ）（ｙｂ）ｒ的参数方程可表示为ａｒｃｏｓ，ｙｂｒｓｉｎ．（为参数）．　　

椭圆

某ａｙｂ某ａｃｏｓ，（为参数）．１（ａｂ０）的参数方程可表示为ｙｂｓｉｎ．抛物线ｙ２某

２ｐ某２，（ｔ为参数）．２ｐ某的参数方程可表示为ｙ２ｐｔ．某某ｏｔｃｏｓ，经过点ＭＯ（某

ｏ，ｙｏ），倾斜角为的直线ｌ的参数方程可表示为（ｔ为参数）．　　

　　　　ｙｙｔｓｉｎ．ｏ１０．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使某，ｙ的取值范围保持一致．　　

高中数学选修４－５知识点总结

　　　　１、不等式的基本性质①（对称性）ａｂｂａ②（传递性）ａｂ，ｂｃａｃ③（可加

性）ａｂ（同向可加性）ａ（异向可减性）ａ④（可积性）ａｂ，ｃ　　

　　　　ａｃｂｃ　　

　　　　ｂ，ｃｄａｃｂｄｂ，ｃｄａｃｂ０ａｃｂｃｄ　　

ｂ０，０ｃｄａｃｂｄ，ａｂ，ｃ０ａｃｂｃ⑤（同向正数可乘性）ａ⑥（平方法则）

ａｂ０，ｃｄ０ａｃｂｄｎｎ（异向正数可除性）ａｂ０ｎ　　

　　　　ｂ０ａｂ（ｎＮ，且ｎ１）⑦（开方法则）ａ１ａ１ｂａｎｂ（ｎＮ，且ｎ１）　　

⑧（倒数法则）ａｂ０　　

　　　　１ａ１ｂ；ａｂ２、几个重要不等式①ａｂ２ａｂａ，ｂＲ，（当且仅当ａｂ时取＂＂号）．变形

公式：ａｂ２２ａｂ２２２．　　

②（基本不等式）

　　　　ａｂ２ａｂａ，ｂＲ，（当且仅当ａｂ时取到等号）．　　

　　　　ａｂ变形公式：ａｂ２ａｂａｂ．　　

　　　　２２用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个

条件“一正、二定、三相等”．　

③（三个正数的算术几何平均不等式）